Sistem Digital

Sistem Bilangan

Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal, dan heksadesimal. Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan yang paling familier dengan kita karena berbagai kemudahannya yang kita pergunakan sehari-hari. Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan yang paling banyak digunakan dalam sistem digital karena sistem bilangan ini secara langsung dapat mewakili logika yang ada.Sementara itu sistem bilangan oktal dan heksadesimal biasanya banyak digunakan dalam system digital untuk memperpendek penyajian suatu bilangan yang tadinya disajikan dalam sistem bilangan biner.

DESIMAL BINER OKTAL HEKSA
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F


1.1 Desimal
Sistem bilangan desimal disusun dari 10 angka atau lambang. Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 atau radiks 10 karena mempunyai 10 digit.

D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Ciri suatu bilangan menggunakan sistem bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 atau tambahan D di akhir suatu bilangan. Contoh:357des = 35710 = 357D. Namun karena bilangan desimal sudah menjadi bilangan yang digunakan sehari-hari, subskrip tersebut biasanya dihilangkan.

1.2 Biner
Sistem digital hanya mengenal dua logika, yaitu 0 dan 1. Logika 0 biasanya mewakili kondisi mati dan logika 1 mewakili kondisi hidup. Pada sistem bilangan biner, hanya dikenal dua lambang, yaitu 0 dan 1. Karena itu, sistem bilangan biner paling sering digunakan untuk merepresentasikan kuantitas dan mewakili keadaan dalam sistem digital maupun sistem komputer.
Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada system bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu:

B = { 0, 1 }

Ciri suatu bilangan menggunakan sistem bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 atau tambahan huruf B di akhir suatu bilangan.

Contoh:

1010011bin = 10100112 = 1010011B.

Representasi bilangan biner bulat

a. Konversi Bilangan Biner ke Desimal
Konversi bilangan biner ke desimal dilakukan dengan menjumlahkan hasil perkalian semua bit biner dengan beratnya.

Contoh:

•1010011bin = 83des


1010011bin = 1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20
= 64+0+16+0+0+2+1
= 83des

•111,01bin = 7,25des


111,01bin = 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4+2+1+0+0,25
= 7,25des


b. Konversi Bilangan Desimal ke Biner
Konversi Bilangan Desimal Bulat ke Biner
Konversi bilangan desimal bulat ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang didapat.

Contoh:

•625des = ... bin

















Konversi Bilangan Desimal Pecahan ke Biner
Bilangan desimal real dapat dapat pula dikonversi ke bilangan real biner. Konversi dilakukan dengan cara memisahkan antara bagian bulat dan bagian pecahannya. Konversi bagian bulat dapat dilakukan seperti cara di atas. Sedangkan konversi bagian pecahan dilakukan dengan mengalikan pecahan tersebut dengan 2. Kemudian bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat.

•625,1875des = ... bin
625des = 1001110001bin
0,1875des = ... bin

625,1875des = 1001110001,0011bin


1.3 Oktal
Sistem bilangan oktal merupakan sistem bilangan basis delapan. Pada system bilangan ini terdapat delapan lambang, yaitu:

O = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Ciri suatu bilangan menggunakan sistem bilangan oktal adalah adanya tambahan subskrip okt atau 8 atau tambahan huruf O di akhir suatu bilangan.

Contoh:

1161okt = 11618 = 1161O.

a. Konversi Bilangan Oktal ke Desimal
Konversi bilangan oktal ke desimal dilakukan dengan menjumlahkan hasil perkalian semua digit oktal dengan beratnya

Contoh:

•1161okt = 625des



1160okt = 1 X 83 + 1 X 82 + 6 X 81 + 1 X 80
= 512+64+48+1
= 625des

•13,6okt = 11,75des




13,6okt = 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1
= 8+3+0,75
= 11,75des

b. Konversi Bilangan Desimal ke Oktal
Konversi bilangan bulat desimal ke oktal dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 8. Sisa setiap pembagian merupakan
digit oktal yang didapat.

Contoh:

•625des = ...okt

625/8 = 78 sisa 1
78/8 = 9 sisa 6
9/8 = 1 sisa 1
1/8 = 0 sisa 1

Jadi, 625des= 1161okt


Konversi bilangan desimal pecahan ke oktal dilakukan dengan cara hampir sama dengan konversi bilangan desimal pecahan ke biner, yaitu dengan mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 8. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 8. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan digit yang didapat.

•0,75des = 0,6okt
 0,75 X 8 = 6,00

•0,1des = 0,063 ...... okt
0,1 X 8 = 0,8
0,8 X 8 = 6,4
0,4 X 8 = 3,2

c. Konversi Bilangan Oktal ke Biner
Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner. Tabel dapat digunakan untuk membantu proses pengonversian ini.

Contoh:

•1161okt = 1001110001bin •0,064okt = 0,000110011bin


d. Konversi Bilangan Biner ke Oktal
Konversi bilangan biner ke oktal lebih mudah dibandingkan konversi bilangan desimal ke oktal. Untuk bagian bulat, kelompokkan setiap tiga bit biner dari paling kanan, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit oktal. Dan untuk bagian pecahan, kelompokkan setiap tiga bit biner dari paling kiri, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit oktal. Proses ini merupakan kebalikan dari proses konversi bilangan oktal ke biner.

Contoh:

•1001110bin = 116okt •0,000110011bin = 0,064okt







1.4 Heksadesimal



1.4 Heksadesimal

Sistem bilangan heksadesimal merupakan sistem bilangan basis enam belas. Meskipun pada sistem digital dan komputer operasi secara fisik dikerjakan secara biner, namun untuk representasi data banyak digunakan format bilangan heksadesimal karena format ini lebih praktis, mudah dibaca dan mempunyai kemungkinan timbul kesalahan lebih kecil. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik.
Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu:

H = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
Ciri suatu bilangan menggunakan sistem bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 atau tambahan huruf H di akhir suatu bilangan.

Contoh:

271heks = 27116 = 271H.

a. Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal

•271heks = 625des








271heks = 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160
= 512+112+1
= 625des

•0,Cheks = 0,75







0,Cheks = 0 X 160 + 12 X 16-1
= 0+0,75
= 0,75des


b. Konversi Bilangan Desimal ke Heksadesimal

•625des = 271heks









Konversi Bilangan Desimal Pecahan ke Heksadesimal

•0,75des = 0,Cheks
0,75 X 16 = C

•0,1des = 0,19 ...... heks
0,10 X 16 = 1,6
0,60 X 16 = 9,6… dst


c. Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner

•271heks = 1001110001bin •0,19heks = 0,00011001bin








d. Konversi Bilangan Biner ke Heksadesimal

•1001110001bin = 271heks •0,00011001bin = 0,19heks
















1.5 BCD (Binary Coded Decimal)
Sistem bilangan BCD hampir sama dengan sistem bilangan biner. Pada system bilangan ini, setiap satu digit desimal diwakili secara tersendiri ke dalam bit-bit biner. Karena pada sistem bilangan desimal terdapat 10 digit, maka dibutuhkan 4 bit biner untuk mewakili setiap digit desimal. Setiap digit desimal dikodekan ke sistem bilangan biner tak bertanda. Sistem bilangan BCD biasanya digunakan untuk keperluan penampil tujuh segmen (seven-segment).

Contoh:

•625des = 0110 0010 0101BCD









Konversi bilangan desimal dari 0 sampai 15 ke bilangan biner, oktal,heksadesimal dan BCD dapat dilihat pada table di bawah.

Tabel Konversi Antar Sistem Bilangan

DESIMAL BINER OKTAL HEKSA BCD
0 0000 0 0 0000
1 0001 1 1 0001
2 0010 2 2 0010
3 0011 3 3 0011
4 0100 4 4 0100
5 0101 5 5 0101
6 0110 6 6 0110
7 0111 7 7 0111
8 1000 10 8 1000
9 1001 11 9 1001
10 1010 12 A 0001 0000
11 1011 13 B 0001 0001
12 1100 14 C 0001 0010
13 1101 15 D 0001 0011
14 1110 16 E 0001 0100
15 1111 17 F 0001 0101













Gerbang Logika

Gerbang (gates) adalah suatu rangkaian logika dengan satu keluaran dan satu atau beberapa masukan, taraf tegangan keluaran tertentu; hanya terjadi untuk suatu kombinasi taraf tegangan dari masukan-masukannya yang sudah tertentu pula. Gerbang logika dasar terdiri dari tiga jenis, yaitu AND, OR, dan NOT. Sedangkan gerbang logika yang lain merupakan pengembangan dari ke tiga gerbang logika dasar tersebut, antara lain gerbang : NAND, NOR, dan XOR.

2.1 Gerbang AND
adalah gerbang yang memberikan keluaran hanya bila semua masukan ada. Dengan kata lain gerbang AND merupakan gerbang semua atau tidak ada ; keluaran hanya terjadi bila semua masukan ada.

Lambang Gerbang AND


Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1



2.2 Gerbang OR
adalah gerbang salah satu atau semua; keluaran terjadi bila salah satu atau semua masukan ada. Gerbang OR memberikan keluaran 1 bila salah satu masukan atau ke dua masukan adalah 1.

Lambang Gerbang OR


Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1







2.3 Gerbang NOT
adalah gerbang logika yang memberikan keluaran tidak sama dengan masukannya. Gerbang NOT disebut juga inverter. Gerbang ini mempunyai sebuah masukan dan sebuah keluaran, yang dilakukannya hanyalah membalik sinyal masukan; jika masukan tinggi, keluaran adalah rendah, dan sebaliknya.

Lambang Gerbang OR


Tabel Kebenarannya

A Y
0 1
1 0


2.4 Gerbang NAND (NOT-AND/NAND)
adalah gerbang AND yang diikuti gerbang NOT.

Lambang Gerbang NAND


Berasal dari :

Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0


2.4 Gerbang NOR (NOT-OR/NOR)
adalah gerbang OR yang diikuti gerbang NOT.
Lambang Gerbang NOR







Berasal dari :

Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0


2.5 Gerbang XOR (Ekslusif OR)
Gerbang ini mempunyai dua masukan dan satu keluaran. XOR adalah nama lain dari OR eksklusif.
Disebut semikian sebab gerbang XOR memberikan keluaran 1 bila masukan pertama atau masukan kedua adalah 1, namun tidak kedua-duanya. Dengan kata lain, gerbang XOR mempunyai keluaran 1 hanya bila ke dua masukannya berbeda dan keluarannya 0 apabila ke dua masukannya sama.
Dengan kata lain gerbang ini merupakan kombinasi dari semua gerbang dasar logika (AND, OR, NOT).

Lambang Gerbang XOR


Berasal dari :

Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


Jadi persamaan gerbang XOR adalah: Y = A B


2.6 Gerbang XNOR
Merupakan komplemen dari gerbang XOR, dimana gerbang XOR diikuti oleh sebuah inverter atau gerbang NOT. Sehingga gerbang ini akan memiliki keluaran bernilai 1 apabila kedua masukannya adalah sama.

Lambang Gerbang XNOR


Tabel Kebenarannya

A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1









































PETA KARNOUGH

Misalkan terdapat persamaan :

Untuk menyederhanakan persamaan tersebut dapat menggunakan bantuan peta karnough, dengan cara:
• Membuat variable inputnya


• Untuk ungkapan pertama A=1 dan B=0, sedangkan ungkapan ke-dua A=1 dan B=1 masukkan masing-masing ungkapan tersebut ke dalam selnya masing-masing.


• Sisa dari sel yang kosong diisi dengan 0


• Kemudian kelompokkan yang bernilai 1


• Dalam kelompok tersebut dapat dilihat bahwa A tidak akan berubah, yaitu tetap berlogika 1. Sehingga persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:
F = A